Mathematics

فرض کنيد می خواهيد در يک امتحان چهار گزينه ای شرکت کنيد (که به ازای هر غلط 1/3 نمره ی منفی دارد)، و هيچ مطالعه ای راجع به موضوع اين امتحان نداريد و قصد داريد شانس خود را امتحان کنيد و گزينه هايي را به صورت تصادفی انتخاب کنيد. چند درصد احتمال دارد که امتياز شما منفی نباشد؟ (البته با این فرض ها که احتمال درست پاسخ دادن به سوال 25% و احتمال شير آمدن سکه 50% می باشد.)

برای امتحان 1 سواله: 25%

برای امتحان 5 سواله: 36%

برای امتحان 6 سواله: 46%

برای امتحان 7 سواله: 55%

برای امتحان 8 سواله: 63%

برای امتحان 9 سواله: 39%

برای امتحان 10 سواله: 47%

برای امتحان 20 سواله: 58.51%

برای امتحان 30 سواله: 48.57%

...

پس اگر می خواهيد در امتحانی 9 سواله شانس خود را امتحان کنيد، تنها به 8 سوال اول پاسخ دهيد! به اين ترتيب شانس ضايع نشدن شما 24% افزايش می يابد.

حال فرض کنيد همراه خود سکه ای سر جلسه ی امتحان برده ايد و به اين شيوه عمل می کنيد: قبل از پاسخ به هر سوال سکه می اندازيد، اگر شير آمد يکی از گزينه ها را به صورت تصادفی انتخاب می کنيد، و گرنه هيچ گزينه ای را انتخاب نمی کنيد و به سراغ سوال بعدی می رويد.

در اين صورت احتمال اينکه امتياز شما منفی نشود:

برای امتحان 1 سواله: 62 %

برای امتحان 5 سواله: 50.6 %

برای امتحان 6 سواله: 52.41 %

برای امتحان 7 سواله: 52.83 %

برای امتحان 8 سواله: 52.41 %

برای امتحان 9 سواله: 51.79 %

برای امتحان 10 سواله: 51.37 %

برای امتحان 20 سواله: 51.13 %

برای امتحان 30 سواله: 50.95 %

...

در ادامه از روش بالا برای پيدا کردن نمايش عدد 2 در اين مبنا استفاده می کنيم:

مرحله ی اول: a = 2 و b = 0. در نتيجه q_r = -1 و q_i = -1 و r = 0.
مرحله ی دوم: a = -1 و b = -1. در نتيجه q_r = 0 و q_i = 1 و r = 0.
مرحله ی سوم: a = 0 و b = 1. در نتيجه q_r = 1 و q_i = 0 و r = 1.
مرحله ی چهارم: a = 1 و b = 0. در نتيجه q_r = 0 و q_i = 0 و r = 1.
مرحله ی پنجم: a = 0 و b = 0. پايان!
اگر باقيمانده ها را پشت سر هم بگذاريم، نتيجه را که برابر 1100 می باشد را بدست می آوريم.

يادداشت: منبع مطالبی که خوانديد، کتاب Hacker’s Delight از انتشارات Addison Wesley می باشد. علت اينکه اين بخش از کتاب توجه مرا جلب کرد اين بود که اين مطلب مرتبط با سوال UVa #11180 می باشد که قبلا با همکاری هم تيمی های عزيز با استفاده از يک راه حل ديگر حل کرده بوديم، ولی روش ما به سادگی اين روش نبود. البته اين نشان گر اين است که اگر روابط مربوط به مساله را با دقت بررسی کنيم، معمولا به راحتی به راه حل های ساده تر و تميز تر می رسيم.
روشی که ما استفاده کرده بوديم، حاصل از بررسی توان های مختلف 1- + i و Pattern هايي بود که در آن وجود داشت.

اسحق نيوتن که در روز 4 ژانويه سال 1643 ميلادی، يعنی سال مرگ گاليله، متولد شد، از خانواده ای است که افراد آن کشاورزان مستقل و متوسط الحال بوده اند و مجاور دريا در قريه ی وولستورپ می زيستند.

نيوتن کودکی نبود که ساختمان بدنی قوی و مستحکم داشته باشد و بنابراين مجبور بود از بازي های پر هياهو و زد و خوردهای همسالان خود کناره بگيرد و بجای اينکه از تفريحات آنان پيروی کند، شخصا برای خويش تفريحاتی اختراع می کرد که نبوغ وی در ضمن آن ها خودنمايي می نمود.
برخی از تفريحات وی عبارت بودند از: ساختن بادبادکی که چراغی در خود پنهان داشت و موجب وحشت اهالی ده می گرديد؛ بازيچه های مکانيکی تمام اجزاي آن ها را تماما خود می ساخت؛ ...

طبق نسايح دايی وی ابتدا او را به کالج گرانتهام فرستادند و در اين کالج او را در کلاس ماقبل آخر جای دادند. او همواره مورد طعنه و طنز شاگردانی واقع می شد که از وی قوی تر بوده اند و روزی از روزها يکی از ايشان با بی رحمی بسيار، کتک مفصلی به او زد بطوريکه جانش از آن آزرده شد. ام در نتيجه ی تشويق يکی از استادان خويش شاگرد مزبور را به مبارزه طلبيد و با ضربات جانانه ای وی را از پا درآورد و در آخر کار نيز از سر تحقير بينی او را به ديوار کليسا کوبيد. تا آن تاريخ نيوتن توجه بسيار به درس های خود نشان نداده بود اما بر اثر اين واقعه تصميم گرفت به آنان ثابت کند که مغز وی قوی تر از ايشان است و با جديت به کار پرداخت و در اندک مدت بهترين شاگرد کلاس شد.
در اين هنگام بود که مديران مدرسه و دايی او متفق القول شدند که وی قادر است برنامه ی دانشگاه کمبريج را درک کند. تصميم قاطع روزی اختيار شد که دايی آيسکاف او را غافلگير کرد و ملاحظه نمود که در کنار پرچين مزرعه نشسته و در خفا سخت مشغول مطالعه است و حال آن که همه تصور می کردند وی با کمک يکی از کارگران مزرعه برای خريد به بازار رفته است.

معلم رياضی نيوتن در دانشگاه کمبريج اسحق بارو نام داشت که در عين حال رياضی دان و عالم علوم الهی بود. بارو از روی خلوص و حسن نيت به اين نکته ايمان آورد که شاگردش به مراتب بر او رجحان دارد و چون در سال 1669 هنگام آن رسيد که کرسی رياضيا لوکازيان را که وی اولين اشغال کننده ی آن بوده است ترک کند، با نهايت ميل اين کرسی را به شاگرد و مريد بی مانند خود سپرد.

نيوتن تا سال 1664 هنوز کار قابل ملاحظه ای انجام نداده بود جز اينکه از بس با اصرار و سماجت به هاله ی ماه و ذوذنبی که می گذشت نگاه کرد مريض شد، و يا اگر کار مهمی انجام داده بود آن را مخفی می داشت.

از زندگانی او هيچ چيزی را با دقت و صحت نمی دانيم جز اينکه طی سال های 1666 – 1664 يعنی از 21 سالگی تا 23 سالگی تمام اکتشافات آينده ی خويش را در رياضيات و علوم ديگر پی ريزی کرد و با ايمان و عقيده هر روز به سعی و کوشش و کار پرداخت و شب ها تا دير وقت بيدار می ماند تا جاييکه مريض و بستری گرديد. متاسفانه ميل طبيعی نيوتن به اينکه اکتشافات خويش را پنهان از ديگران نگه دارد، نيز موجب تاريکی بيشتر اين اسرار شد.
او طی اين سه سال روش حساب ديفرانسيل و انتگرال را اختراع کرد، قانون جاذبه ی عمومی را کشف کرد و با تجربه ثابت نمود که نور سفيد ماحصل ترکيب تمام انوار با رنگ های مختلف می باشد.

نسخه ای خطی که تاريخ آن بيستم ماه می 1665 است نشان می دهد که نيوتن در 23 سالگی به قدر کافی اصول حساب عناصر بی نهايت کوچک را پيش برده بود که بتواند انحنای هر منحنی متصل را در يک نقطه حساب کند و مماس بر منحنی را در اين نقطه رسم نمايد.

دومين الهام بزرگ نيوتون هنگاميکه در حدود 23 سال داشت، يعنی در سال 1666 که در وولستورپ بسر می برد عبارت از قانون جاذبه ی عمومی اوست. غالب مورخين علوم که قولشان معتبر است اين نکته را پذيرفته اند که نيوتن در سال 1666 دست به يک سلسله محاسبات تقريبی زد تا ملاحظه کند که آيا قانون جاذبه ی عمومی او می تواند قوانين کپلر را توضيح دهد يا نه.
انتشار قانون جاذبه ی عمومی 20 سال طول کشيد. علت تاخير نيوتن آن بوده است که وی نمی توانست مسئله ای مربوط به حساب انتگرال و ديفرانسيل را حل کند و اين مسئله در قانون جاذبه ی عمومی به صورتی که مورد توجه او قرار گرفته بود نقش اساسی به عهده داشت. در واقع نيوتن قبل از اينکه حرکت سيب يا حرکت ماه را مورد مطالعه قرار دهد احتياج به آن داشت که معلوم نمايد که جاذبه ی کلی کره ی متجانسی بر نقطه ای که در خارج اين کره قرار گرفته چيست. بديهی است که هر يک از نقاط کره ی مزبور نقطه ی خارجی را با نيرويی که متناسب با جرم دو ذره و معکوس مجذور فاصله ی آن هاست جذب می کنند، ليکن چگونه بايد بی نهايت جاذبه ی مجزا را که به اين طريق حاصل می شوند را با هم جمع کرد يا ترکيب نمود تا جاذبه ی منتجه حاصل شود؟
آشکار است که مسئله ی مزبور از نوع مسائل حساب انتگرال است. امروز اين مسئله را در کتاب های مقدماتی و درسی حساب انتگرال به عنوان تمرين ساده ای مطرح می سازند و دانشجويان جوان حداکثر در 20 دقيقه به حل آن توفيق می يابند، اما نيوتن 20 سال در باره ی آن فکر کرد تا به حل آن توفيق يافت!

بعد از آنکه بار ديگر به کمبريج بازگشت به عنوان عضو وابسته در ترينيتی کالج پذيرفته شد (1667) و دو سال بعد از آن در 1669 در 26 سالگی به عنوان استاد رياضی جانشين اسحق بارو گرديد، در اولين درس های وی از مبحث نور گفتگو به عمل می آيد. وی ضمن اين درس ها اکتشافات شخصی خود را مطرح می سازد و تئوری های ذره ای نور را بيان می دارد که طبق آن نور ماحصل ذره است و نه چنانکه هوک و هويگنس عقيده داشته اند نمودی موجی می باشد.

در 1668 نيوتن با دست خود يک تلسکوپ انعکاسی ساخت و به مدد آن به رصد و مشاهده ی اقمار مشتری پرداخت. در اين نکته ترديدی نيست که منظور وی از اين رصد ها آن بود که اقمار مزبور را مورد تجربه قرار دهد و به کمک آن ها ملاحظه کند که آيا قانون «جاذبه» ی وی واقعا «عمومی» است يا نه.

در سال 1672 نيوتن به عضويت جامعه ی پادشاهی انتخاب شد، به اين مناسبت اکتشافات خود را در مورد تلسکوپ ها و نظريه ی ذره ای نور به جامعه ی مزبور عرضه داشت. هيئتی مرکب از سه عضو اين جامعه که از جمله ی ايشان يکی مرد زشتخوئی همچون هوک بود، مامور شدند که درباره ی اين اکتشافات گزارشی به جامعه ی مزبور تقديم دارند. هوک از سمت خود سوء استفاده کرد و گزارشی عليه نيوتن به جامعه تقديم داشت و ضمن آن تبليغ بسياری به نفع نظريه ی موجی نور کرد.
در ابتدای امر نيوتن خونسردی کامل خود را حفظ کرد ليکن بزودی رفتار خود را تغيير داد و خاصه هنگاميکه لوکاس رياضی دان و لينوس فيزيک دان به هوک پيوستند و نظرات و ايرادات آنان صورت بدگويي احمقانه يافت و نيوتن به کلی عنان احتيار از دست داد. بالاخره نيوتن تصميمی کودکانه گرفت که از آن پس با هيچکس از اکتشافات خود سخن نگويد و علت آن بود که نمی توانست اصلا چنين جدال احمقانه ای را تحمل کند.
در سال 1679 که سی و هفت سال داشت بزرگترين اکتشافات خود را انجام داده بود اما آن ها را با نهايت دقت در مغز خويش و يا در کشو ميز خود محفوظ می داشت.

دوران ما بين 1884 و 1886 از نظر تاريخ فکری بشر مقام ارجمندی دارد. در اين دوران هالی توانست با تدبير بسيار او را وادارد که اکتشافات خويش را در نجوم و علم حرکات به منظور انتشار تدوين کند و نيوتن نيز رضا به اين کار داد. به احتمال قوی طی تاريخ هيچ گاه موجودی بشری با چنين مداومت خويشتن را به افکاری چنين عميق نسپرد و کوششی معادل آن چه نيوتن برای تدوين کتاب «اصول رياضی حکمت طبيعی» (Principa Mathematica Philosphiae Naturalis) به عمل آور انجام نداد.
چنين به نظر می رسد در دورانی که نيوتن به تحرير و تدوين شاهکار خود مشغول بود هرگز به سلامتی خويش توجهی نکرد و فراموش کرد که خوردن و خوابيدن از لوازم زندگی است. غالبا به غذايي ساده اکتفا می کرد يا اصلا چيزی نمی خورد و با عجله از خوابی که چند لحظه بيش ادامه نداشت برمی خاست و با لباسی مختصر ساعت ها در کنار بستر می نشست و به تفکر و محاسبه می پرداخت تا بتواند از پيچ و خم های مشکلات رياضی خويش عبور کند. بالاخره در سال 1686 کتاب اصول آماده شد و برای اظهار نظر به جامعه ی پادشاهی تقديم گرديد و در سال 1687 با خرج هالی منتشر گرديد.
سراسر اين کتاب آغشته از دو نظر اصلی نيوتون يعنی قوانين علم حرکات و قانون جاذبه ی عمومی اوست و بخصوص به موارد استعمال اين قوانين در بيان حرکات دستگاه شمسی و «دستگاه جهان» می پردازد.

بيخوابی مفرط و احتراز از غذا خوردن مرتب، يعنی عواملی که او را مجاز داشته بودند کتاب اصول را در مدت 18 ماه تنظيم کند بضد او برخواسته و جبران مافات می کردند: در پائيز سال 1692 هنگاميکه به 50 سالگی نزديک می شد و می بايست در غايت قوت و کمال باشد به سختی مريض و بستری شد.
خبر کسالت شديد نيوتون در قاره ی اروپا انتشار يافت و طبعا با اغراق توام شد. ليکن بعد از آنکه خبر بهبود او را دادند دوستانش که يکی از آن ها بعدها از سخت ترين دوستان نيوتن شد بسيار شادمان گرديدند.
لايب نيتس در همين اوقات خبر سلامتی نيوتون را به يکی از آشنايان خود نوشت و اظهار رضايت کرد که بار ديگر نيوتون به صورت خويش بازگشته است. در همين سال 1693 بود که نيوتون بعد از معالجه برای اولين بار مطلع شد که حساب ديفرانسيل و انتگرال را در قاره ی اروپا به خوبی می دانند و عموما ابداع آن را به لايب نيتس نسبت می دهند.

بعد ها در سال 1712، در آن هنگام که مردم کوچه و بازار و وطن پرستان غيور که به کلی از حقايق موضوع غافل بودند با ابهام تمام دانستند که نيوتون کار برجسته ای در رياضيات انجام داده است، ناگهان مسئله ی تعيين اينکه فضل تقدم در اختراع حساب ديفرانسيل و انتگرال با کيست تبديل به مسئله ی حسادت ملی حادی شد و همه ی مردم صاحب فرهنگ انگلستان پشت سر قهرمان خويش که کم و بيش از اين وضع متحير بود صف بستند و نعره می کشيدند که رقيب وی مردی دروغگوست.
در ابتدای امر نه رفتار نيوتون در خور ملامت بود و نه روش لايب نيتس. اما به تدريج که غريزه ی ورزشی بريتانيايی تحريک می شد نيوتون نيز ابتدا رضايت داد و سپس خود به خود يا به اغوای ديگران وارد معرکه شد و دست به اقداماتی مشکوک و دور از شرافت زد تا به هر قيمت که شده است در اين مسابقه ی بين المللی فاتح شود حتی اگر بهای آن شرافت ملی باشد. لايب نيتس و پيروان او نيز همين راه در پيش گرفتند و ما حصل اينکار آن شد که انگليسيان سر سخت مدت يک قرن بعد از مرگ نيوتون در سکوتی کامل در زمينه ی رياضيات قرار گرفتند و حال آنکه مردم فرانسه و سوئيس که بر جای پای لايب نيتس متکی شدند و راه او را در پيش گرفتند روشهايش را که لااقل از لحاظ به کار بردن علامات بوضع غير قابل مقايسه ای بهتر از روش نيوتون بوده است تکميل کردند و از حساب عناصر بی نهايت کوچک وسيله ای ساده و قابل استعمال برای تجسس بوجود آوردند و حال آن که می بايست افتخار اين تکميل نصيب جانشينان بلافاصله ی نيوتون گردد.

در سال 1696 برنوئيلی و لايب نيتس به اتفاق توطئه ای چيدند و برای حل دو مسئله ای که مطرح ساختند رياضی دانان اروپايي را به مبارزه طلبيدند. بعد از آنکه مدت 6 ماه رياضی دانان اروپايي را سرگردان ساخت برای بار دوم مطرح شد و نيوتن برای اولين بار در روز 29 ژانويه 1696 بوسيله ی يکی از دوستان خود از وجود آن مطلع شد. وی تازه به خانه ی خويش مراجعه کرده و هنوز از خستگی کار سنگين روزانه نياسوده بود. بعد از صرف شام مسئله ها را تمام کمال حل کرد و فردای آن روز راه حل خود را بدون ذکر نام حل کننده آن به جامعه ی پادشاهی عرضه داشت.
برنوئيلی هنگامی که راه حل را ديد بلافاصله فرياد بر کشيد که: «آه! من شير را بخوبی از جای پايش می شناسم!»

نيوتن بار ديگر در سال 1716 هنگامی که هفتاد و چهار سالهی بود دليل ديگری بر قدرت نيروی فکری خود اقامه کرد.
در اين هنگام لايب نيتس گستاخانه مسئله ای مطرح کرده و رياضی دانان اروپائی را به مبارزه طلبيده بود و در واقع نيوتون را در نظر داشت زير مسئله بنظر وی مشکل می نمود.
نيوتن صورت مسئله را روزی از روزها ساعت 5 بعد از ظهر که خسته و کوفته به خانه برگشته بود دريافت داشت و در همان شب آن را به تمامی حل کرد حال آن که لايب نيتس گمان می کرد اين بار ديگر شير را در دام انداخته است.

آخرين روزهای زندگی وی تاثرانگيز و از جنبه ی انسانی قوی و عميق بوده است. اگر چه نيوتون نيز مانند ساير افراد بشر از رنج فراوان بی بهره نماند ليکن بردباری بسياری که در مقابل درد و شکنجه ی دائمی دو سه سال اخير زندگی اخير خويش نشان داد شکوفه هايي ديگر بر تاج گلی که بر فرق او قرار دارد می افزايد. دردهای جانگدازی که ماحصل سنگ مثانه بود هرگز نمی توانست قيافه ی آرام و دلپذير او را کدر سازد و همواره نسبت به کسانی که از او پرستاری می کردند کلمات محبت آميز بر زبان داشت. در آخرين روزهای زندگی سرفه ای مداوم او را بسيار ضعيف کرد و عاقبت بعد از آنکه چند روزی از درد جانگداز آسوده بود در نهايت آرامش مابين ساعت يک و دو بعد از نيمه شب بيستم ماه مارس 1727 زندگانی را بدرود گفت و در اين هنگام او هشتاد و پنج سال داشت. وی را در صومعه ی وست مينستر به خاک سپردند.